Упр.43.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Напишите уравнения тех касательных к графику функции у = arcsin х, которые параллельны заданной прямой: a) у = 2х — 3; б) у = х + 2.

Для функции $$y=\arcsin x$$ производная равна

$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Касательная к графику функции в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=\arcsin a+\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}(x-a).$$

Чтобы касательная была параллельна заданной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны.

1. а) Прямая $$y=2x-3$$ имеет угловой коэффициент $$k=2$$.

   Тогда

   $$\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}=2.$$

   Решаем:

   $$ \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}=2 \\ 1=2\sqrt{1-a^2} \\ 1=4(1-a^2) \\ 4a^2=3 \\ a^2=\frac{3}{4} \\ a=\pm \frac{\sqrt3}{2}. $$

   1) При $$a=\frac{\sqrt3}{2}$$:

   $$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},$$

   $$y=\frac{\pi}{3}+2\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)=2x+\frac{\pi}{3}-\sqrt3.$$

   2) При $$a=-\frac{\sqrt3}{2}$$:

   $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},$$

   $$y=-\frac{\pi}{3}+2\left(x+\frac{\sqrt3}{2}\right)=2x-\frac{\pi}{3}+\sqrt3.$$

2. б) Прямая $$y=x+2$$ имеет угловой коэффициент $$k=1$$.

   Тогда

   $$\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}=1.$$

   Отсюда

   $$ \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}=1 \\ \sqrt{1-a^2}=1 \\ 1-a^2=1 \\ a=0. $$

   Точка касания: $$\bigl(0,\arcsin 0\bigr)=(0,0).$$

   Уравнение касательной:

   $$y=0+1(x-0)=x.$$

Ответ

а) $$y=2x+\frac{\pi}{3}-\sqrt3,$$ $$y=2x-\frac{\pi}{3}+\sqrt3.$$

б) $$y=x.$$