Упр.43.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Напишите уравнения тех касательных к графику функции у = x3/3- 2, которые параллельны заданной прямой: a) у = х — 3; б) у = 9х — 5.

Для функции $$y=\frac{x^3}{3}-2$$ найдём производную:

$$y’ = x^2.$$

Уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$ имеет вид:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Касательные параллельны заданной прямой, если их угловые коэффициенты равны угловому коэффициенту этой прямой.

1. а) Для прямой $$y=x-3$$ угловой коэффициент равен $$k=1$$.

   Тогда

   $$x^2=1,$$

   откуда $$x=\pm 1.$$

   1) При $$a=-1$$:

   $$f(-1)=\frac{(-1)^3}{3}-2=-\frac13-2=-\frac73,$$

   $$f'(-1)=(-1)^2=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=-\frac73+1(x+1)=x-\frac43.$$

   2) При $$a=1$$:

   $$f(1)=\frac{1^3}{3}-2=\frac13-2=-\frac53,$$

   $$f'(1)=1^2=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=-\frac53+1(x-1)=x-\frac83.$$

2. б) Для прямой $$y=9x-5$$ угловой коэффициент равен $$k=9$$.

   Тогда

   $$x^2=9,$$

   откуда $$x=\pm 3.$$

   1) При $$a=-3$$:

   $$f(-3)=\frac{(-3)^3}{3}-2=\frac{-27}{3}-2=-9-2=-11,$$

   $$f'(-3)=(-3)^2=9.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=-11+9(x+3)=9x+16.$$

   2) При $$a=3$$:

   $$f(3)=\frac{3^3}{3}-2=\frac{27}{3}-2=9-2=7,$$

   $$f'(3)=3^2=9.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=7+9(x-3)=9x-20.$$

Ответ

а) $$y=x-\frac43$$, $$y=x-\frac83$$;

б) $$y=9x+16$$, $$y=9x-20$$.