Упр.43.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Напишите уравнения касательных к параболе: a) у = х2 — Зх в точках с ординатой 4; б) у = -х2 + 5х в точках с ординатой 6.

Подробный ответ

Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$a$$ имеет вид:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

а) $$y=x^2-3x$$
Найдём производную:
$$y’=2x-3.$$
Точки параболы с ординатой $$4$$ найдём из уравнения:
$$x^2-3x=4$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$
Для $$x=-1$$:
$$y'(-1)=2\cdot(-1)-3=-5,$$
$$y=4-5(x+1)=-5x-1.$$
Для $$x=4$$:
$$y'(4)=2\cdot 4-3=5,$$
$$y=4+5(x-4)=5x-16.$$
б) $$y=-x^2+5x$$
Найдём производную:
$$y’=-2x+5.$$
Точки параболы с ординатой $$6$$ найдём из уравнения:
$$-x^2+5x=6$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$D=25-24=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=2,\quad x_2=3.$$
Для $$x=2$$:
$$y'(2)=-2\cdot 2+5=1,$$
$$y=6+1(x-2)=x+4.$$
Для $$x=3$$:
$$y'(3)=-2\cdot 3+5=-1,$$
$$y=6-1(x-3)=-x+9.$$