Упр.43.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а, если: a) f(x) = х3 — 2х2 + 3, а = -1; б) f(x) = (x — 1)/(x + 3), а = 1; в) f(x) = х4 — 7х3 + 12л: — 45, а = 0; г) f(x) = (2x — 1)/(x + 1) а = 1.

1. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $$x=a$$: $$k=f'(a).$$

   а) $$f(x)=x^3-2x^2+3,\quad a=-1.$$

   $$f'(x)=3x^2-4x,$$
   $$f'(-1)=3\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)=3+4=7.$$

   Значит, $$k=7.$$

2. б) $$f(x)=\frac{x-1}{x+3},\quad a=1.$$

   $$f'(x)=\frac{(x-1)'(x+3)-(x-1)(x+3)’}{(x+3)^2}$$
   $$=\frac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)^2}=\frac{4}{(x+3)^2}.$$

   $$f'(1)=\frac{4}{(1+3)^2}=\frac{4}{16}=\frac14.$$

   Значит, $$k=\frac14.$$

3. в) $$f(x)=x^4-7x^3+12x-45,\quad a=0.$$

   $$f'(x)=4x^3-21x^2+12,$$
   $$f'(0)=4\cdot 0^3-21\cdot 0^2+12=12.$$

   Значит, $$k=12.$$

4. г) $$f(x)=\frac{2x-1}{x+1},\quad a=1.$$

   $$f'(x)=\frac{(2x-1)'(x+1)-(2x-1)(x+1)’}{(x+1)^2}$$
   $$=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2x+2-2x+1}{(x+1)^2}=\frac{3}{(x+1)^2}.$$

   $$f'(1)=\frac{3}{(1+1)^2}=\frac{3}{4}.$$

   Значит, $$k=\frac34.$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$\frac14$$; в) $$12$$; г) $$\frac34$$.