Упр.43.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Напишите уравнения касательных к графику функции y = f(x) в точках его пересечения с осью абсцисс, если: a) f(x) = 9 — х2; б) f(x) = х3 — 27; в) f(x) = х3 — 4x; г) f(x) = х3 — х4.
а) $$f(x)=9-x^2$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2x$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$9-x^2=0$$
$$x^2=9,\quad x=\pm 3$$
Для $$x=-3$$:
$$f'(-3)=6$$
$$y=6(x+3)=6x+18$$
Для $$x=3$$:
$$f'(3)=-6$$
$$y=-6(x-3)=-6x+18$$
б) $$f(x)=x^3-27$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2$$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$x^3-27=0$$
$$x^3=27,\quad x=3$$
$$f'(3)=27$$
$$y=27(x-3)=27x-81$$
в) $$f(x)=x^3-4x$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-4$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$x^3-4x=0$$
$$x(x^2-4)=0$$
$$x(x-2)(x+2)=0$$
$$x=-2,\;0,\;2$$
Для $$x=-2$$:
$$f'(-2)=8,\quad y=8(x+2)=8x+16$$
Для $$x=0$$:
$$f'(0)=-4,\quad y=-4x$$
Для $$x=2$$:
$$f'(2)=8,\quad y=8(x-2)=8x-16$$
г) $$f(x)=x^3-x^4$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x^2-4x^3$$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$x^3-x^4=0$$
$$x^3(1-x)=0$$
$$x=0,\;1$$
Для $$x=0$$:
$$f'(0)=0,\quad y=0$$
Для $$x=1$$:
$$f'(1)=-1,\quad y=-(x-1)=1-x$$
Ответ
а) $$y=6x+18$$, $$y=-6x+18$$;
б) $$y=27x-81$$;
в) $$y=8x+16$$, $$y=-4x$$, $$y=8x-16$$;
г) $$y=0$$, $$y=1-x$$.
