Упр.43.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = х2 + 2х, если х > = -3, -2х — 3, если х < -3, a = -2 б) f(x) = |х2 - 3x|, а = 4; в) f(x) = 4х - х2, если х > = 0, -4x, если х < 0, a = 1. г) f(x) = x2 - 7|x| + 10, а = -1.

Подробный ответ

$$f(x)=\begin{cases}x^2+2x, & x\ge -3,\\ -2x-3, & x<-3,\end{cases}\qquad a=-2.$$
Так как $$-2\ge -3,$$ то рассматриваем ветвь $$f(x)=x^2+2x.$$
$$f(-2)=(-2)^2+2\cdot(-2)=4-4=0,$$
$$f'(x)=2x+2,\qquad f'(-2)=2\cdot(-2)+2=-2.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=0+(-2)(x+2)=-2x-4.$$
$$f(x)=|x^2-3x|,\qquad a=4.$$
При $$x=4$$ имеем $$x^2-3x=16-12=4>0,$$ значит около точки $$a=4$$
$$f(x)=x^2-3x.$$
Тогда
$$f(4)=4^2-3\cdot4=16-12=4,$$
$$f'(x)=2x-3,\qquad f'(4)=2\cdot4-3=5.$$
Следовательно,
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=4+5(x-4)=5x-16.$$
$$f(x)=\begin{cases}4x-x^2, & x\ge 0,\\ -4x, & x<0,\end{cases}\qquad a=1.$$
Так как $$1\ge 0,$$ то берём ветвь $$f(x)=4x-x^2.$$
$$f(1)=4\cdot1-1^2=3,$$
$$f'(x)=4-2x,\qquad f'(1)=4-2\cdot1=2.$$
Тогда
$$y=3+2(x-1)=2x+1.$$
$$f(x)=x^2-7|x|+10,\qquad a=-1.$$
Так как $$-1<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$f(x)=x^2+7x+10.$$
Тогда
$$f(-1)=(-1)^2+7\cdot(-1)+10=1-7+10=4,$$
$$f'(x)=2x+7,\qquad f'(-1)=2\cdot(-1)+7=5.$$
Следовательно,
$$y=4+5(x+1)=5x+9.$$