Упр.43.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = sin3 2x, a = пи/12; б) f(x) = 4/корень(пи) корень (arctg 3x), a = 1/3 в) f(x) = cos2 2x, a = пи/8 г) f(x) = 2 arcctg (3×2) + 3 arctg (2×3), a = 0.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\sin^3 2x,\quad a=\frac{\pi}{12}$$
$$f(a)=\sin^3\frac{2\pi}{12}=\sin^3\frac{\pi}{6}=\left(\frac12\right)^3=\frac18$$
$$f'(x)=3\sin^2 2x\cdot 2\cos 2x=6\sin^2 2x\cos 2x$$
$$f'(a)=6\sin^2\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}=6\cdot\left(\frac12\right)^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}$$
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac18+\frac{3\sqrt3}{4}\left(x-\frac{\pi}{12}\right)$$
$$y=\frac{3\sqrt3}{4}x+\frac18-\frac{\pi\sqrt3}{16}$$
б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\arctg 3x},\quad a=\frac13$$
$$f(a)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\arctg 1}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{4}}=2$$
$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\arctg 3x}}\cdot \frac{3}{1+9x^2} =\frac{6}{\sqrt{\pi\,\arctg 3x}\,(1+9x^2)}$$
$$f'(a)=\frac{6}{\sqrt{\pi\cdot \frac{\pi}{4}}\left(1+9\cdot \frac{1}{9}\right)}=\frac{6}{\frac{\pi}{2}\cdot 2}=\frac{6}{\pi}$$
$$y=2+\frac{6}{\pi}\left(x-\frac13\right)=\frac{6}{\pi}x+2-\frac{2}{\pi}$$
в) $$f(x)=\cos^2 2x,\quad a=\frac{\pi}{8}$$
$$f(a)=\cos^2\frac{2\pi}{8}=\cos^2\frac{\pi}{4}=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12$$
$$f'(x)=2\cos 2x\cdot(-2\sin 2x)=-4\sin 2x\cos 2x=-2\sin 4x$$
$$f'(a)=-2\sin\frac{4\pi}{8}=-2\sin\frac{\pi}{2}=-2$$
$$y=\frac12-2\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=-2x+\frac12+\frac{\pi}{4}$$
г) $$f(x)=2\operatorname{arcctg}(3x^2)+3\arctg(2x^3),\quad a=0$$
$$f(a)=2\operatorname{arcctg}0+3\arctg 0=\pi+0=\pi$$
$$f'(x)=2\cdot\left(\operatorname{arcctg}(3x^2)\right)’+3\cdot\left(\arctg(2x^3)\right)’$$
$$f'(x)=2\cdot\left(-\frac{6x}{1+9x^4}\right)+3\cdot\frac{6x^2}{1+4x^6} =-\frac{12x}{1+9x^4}+\frac{18x^2}{1+4x^6}$$
$$f'(0)=0$$
$$y=\pi+0\cdot(x-0)=\pi$$