Упр.43.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = arccos 3x + 2xб a = 0; б) f(x) = 3×2 — 0,2 arcsin 5x, a = 0; в) f(x) = 2 arctg x + 3корень x, a = 1; г) f(x) = 1/х — 5 arcctg 2x, a = 1.
а) $$f(x)=\arccos 3x+2x,\quad a=0.$$
Найдём значение функции и производную в точке $$a=0$$:
$$ f(0)=\arccos 0+2\cdot 0=\frac{\pi}{2}, $$
$$ f'(x)=\left(\arccos 3x\right)’+(2x)’=-\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}+2, $$
$$ f'(0)=-\frac{3}{\sqrt{1-9\cdot 0^2}}+2=-3+2=-1. $$Уравнение касательной:
$$ y=f(a)+f'(a)(x-a)=\frac{\pi}{2}-1\cdot(x-0)=\frac{\pi}{2}-x. $$
б) $$f(x)=3x^2-0{,}2\arcsin 5x,\quad a=0.$$
$$ f(0)=3\cdot 0^2-0{,}2\arcsin 0=0, $$
$$ f'(x)=(3x^2)’-0{,}2(\arcsin 5x)’=6x-0{,}2\cdot \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}=6x-\frac{1}{\sqrt{1-25x^2}}, $$
$$ f'(0)=6\cdot 0-\frac{1}{\sqrt{1-25\cdot 0^2}}=-1. $$$$ y=f(0)+f'(0)(x-0)=0- x=-x. $$
в) $$f(x)=2\arctg x+3\sqrt{x},\quad a=1.$$
$$ f(1)=2\arctg 1+3\sqrt{1}=2\cdot \frac{\pi}{4}+3=\frac{\pi}{2}+3, $$
$$ f'(x)=2(\arctg x)’+3(\sqrt{x})’=\frac{2}{1+x^2}+\frac{3}{2\sqrt{x}}, $$
$$ f'(1)=\frac{2}{1+1^2}+\frac{3}{2\sqrt{1}}=1+\frac{3}{2}=2{,}5. $$$$ y=f(1)+f'(1)(x-1)=\frac{\pi}{2}+3+2{,}5(x-1)=2{,}5x+0{,}5+\frac{\pi}{2}. $$
г) $$f(x)=\frac{1}{x}-5\operatorname{arcctg} 2x,\quad a=1.$$
$$ f(1)=\frac{1}{1}-5\operatorname{arcctg} 2=1-5\operatorname{arcctg} 2, $$
$$ f'(x)=\left(\frac{1}{x}\right)’-5(\operatorname{arcctg} 2x)’=-\frac{1}{x^2}-5\cdot\left(-\frac{2}{1+4x^2}\right) =-\frac{1}{x^2}+\frac{10}{1+4x^2}, $$
$$ f'(1)=-1+\frac{10}{1+4}=-1+2=1. $$$$ y=f(1)+f'(1)(x-1)=1-5\operatorname{arcctg} 2+(x-1)=x-5\operatorname{arcctg} 2. $$
Ответ
а) $$y=\frac{\pi}{2}-x$$;
б) $$y=-x$$;
в) $$y=2{,}5x+0{,}5+\frac{\pi}{2}$$;
г) $$y=x-5\operatorname{arcctg} 2$$.
