Упр.43.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = (3x — 2)/(3 — x), a = 2; 6) f(x) = (1)/((x + 2)3), a = -3; в) f(x) = (2x — 5)/(5 — x), a = 4; г) f(x) = (1)/(4(2x — 1)2), a = 1;

1. а) $$f(x)=\frac{3x-2}{3-x}, \quad a=2.$$

   Найдём значение функции и производную:

   $$ f(2)=\frac{3\cdot 2-2}{3-2}=\frac{4}{1}=4 $$

   $$ f'(x)=\frac{(3x-2)'(3-x)-(3x-2)(3-x)’}{(3-x)^2} =\frac{3(3-x)-(3x-2)(-1)}{(3-x)^2} =\frac{7}{(3-x)^2} $$

   $$ f'(2)=\frac{7}{(3-2)^2}=7 $$

   Уравнение касательной:

   $$ y=f(a)+f'(a)(x-a)=4+7(x-2)=7x-10 $$

2. б) $$f(x)=\frac{1}{(x+2)^3}, \quad a=-3.$$

   $$ f(-3)=\frac{1}{(-3+2)^3}=\frac{1}{(-1)^3}=-1 $$

   $$ f'(x)=\left((x+2)^{-3}\right)’=-3(x+2)^{-4}=-\frac{3}{(x+2)^4} $$

   $$ f'(-3)=-\frac{3}{(-3+2)^4}=-\frac{3}{1}=-3 $$

   $$ y=-1-3(x+3)=-3x-10 $$

3. в) $$f(x)=\frac{2x-5}{5-x}, \quad a=4.$$

   $$ f(4)=\frac{2\cdot 4-5}{5-4}=\frac{3}{1}=3 $$

   $$ f'(x)=\frac{(2x-5)'(5-x)-(2x-5)(5-x)’}{(5-x)^2} =\frac{2(5-x)-(2x-5)(-1)}{(5-x)^2} =\frac{5}{(5-x)^2} $$

   $$ f'(4)=\frac{5}{(5-4)^2}=5 $$

   $$ y=3+5(x-4)=5x-17 $$

4. г) $$f(x)=\frac{1}{4(2x-1)^2}, \quad a=1.$$

   $$ f(1)=\frac{1}{4(2\cdot 1-1)^2}=\frac{1}{4} $$

   $$ f(x)=\frac14(2x-1)^{-2} $$

   $$ f'(x)=\frac14\cdot(-2)(2x-1)^{-3}\cdot 2=-\frac{1}{(2x-1)^3} $$

   $$ f'(1)=-\frac{1}{(2\cdot 1-1)^3}=-1 $$

   $$ y=\frac14-1(x-1)=\frac54-x $$

Ответ

а) $$y=7x-10$$;
б) $$y=-3x-10$$;
в) $$y=5x-17$$;
г) $$y=\frac54-x$$.