Упр.43.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = |2х — х2| а = 1; б) f(х) = |х2 — 3x — 4|, а = -2; в) f(х) = |x2 + 4х|, а = -3; г) f(x) = |x2 — 3x — 4|, а = -1.

Подробный ответ

а) $$f(x)=|2x-x^2|,\quad a=1.$$
На промежутке $$0\le x\le 2$$ имеем $$2x-x^2\ge 0$$, поэтому
$$f(x)=2x-x^2,\quad f'(x)=2-2x.$$
Тогда
$$f'(1)=2-2\cdot 1=0.$$
Следовательно, $$\tan\varphi=0$$, значит
$$\varphi=\arctg 0=0.$$
б) $$f(x)=|x^2-3x-4|,\quad a=-2.$$
Найдём нули выражения под модулем:
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=9+16=25,\quad x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\quad x_2=\frac{3+5}{2}=4.$$
Значит, при $$-1<x<4$$
$$f(x)=-(x^2-3x-4)=-x^2+3x+4,$$
и
$$f'(x)=-2x+3.$$
Тогда
$$f'(-2)=-2\cdot(-2)+3=7.$$
Следовательно,
$$\varphi=\arctg 7.$$
в) $$f(x)=|x^2+4x|,\quad a=-3.$$
Найдём нули выражения под модулем:
$$x^2+4x=x(x+4)=0,$$
откуда $$x=-4$$ или $$x=0.$$
При $$-4<x<0$$
$$f(x)=-(x^2+4x)=-x^2-4x,$$
поэтому
$$f'(x)=-2x-4.$$
Тогда
$$f'(-3)=-2\cdot(-3)-4=2.$$
Следовательно,
$$\varphi=\arctg 2.$$
г) $$f(x)=|x^2-3x-4|,\quad a=-1.$$
Точка $$a=-1$$ является точкой смены знака выражения под модулем, поэтому слева и справа производная задаётся разными формулами:
$$f'(x)=2x-3 \quad \text{при } x\le -1 \text{ или } x\ge 4,$$
$$f'(x)=3-2x \quad \text{при } -1<x<4.$$
Найдём односторонние производные в точке $$x=-1$$:
$$f’_-( -1)=2\cdot(-1)-3=-5,$$
$$f’_+( -1)=3-2\cdot(-1)=5.$$
Так как $$f’_-( -1)\ne f’_+( -1),$$ производная в точке $$a=-1$$ не существует.