Упр.43.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = корень(6х + 7), а = 10/3; б) f(x) = корень(5 — 2х), а = 2.

а) $$f(x)=\sqrt{6x+7}, \quad a=3\frac{1}{3}=\frac{10}{3}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{6x+7}\right)’=\frac{6}{2\sqrt{6x+7}}=\frac{3}{\sqrt{6x+7}}.$$

Подставим $$x=\frac{10}{3}$$:

$$f’\!\left(\frac{10}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{6\cdot \frac{10}{3}+7}}=\frac{3}{\sqrt{20+7}}=\frac{3}{\sqrt{27}}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Так как $$\tan \varphi=f'(a),$$ то

$$\tan \varphi=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \varphi=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}=30^\circ.$$

б) $$f(x)=\sqrt{5-2x}, \quad a=2.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{5-2x}\right)’=\frac{-2}{2\sqrt{5-2x}}=-\frac{1}{\sqrt{5-2x}}.$$

Подставим $$x=2$$:

$$f'(2)=-\frac{1}{\sqrt{5-2\cdot 2}}=-\frac{1}{\sqrt{1}}=-1.$$

Тогда

$$\tan \varphi=f'(2)=-1 \Rightarrow \varphi=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{6}=30^\circ$$; б) $$-\frac{\pi}{4}=-45^\circ$$.