Упр.43.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = (2x — 1)/(3 — 2x), а = 1/2; б) f(x) = (x — 1)/(x — 2), а = 1.

а) $$f(x)=\frac{2x-1}{3-2x}, \quad a=\frac12.$$

Найдём производную по формуле производной частного:

$$ f'(x)=\frac{(2x-1)'(3-2x)-(2x-1)(3-2x)’}{(3-2x)^2} =\frac{2(3-2x)-(2x-1)(-2)}{(3-2x)^2} $$
$$ =\frac{6-4x+4x-2}{(3-2x)^2} =\frac{4}{(3-2x)^2}. $$

Подставим $$x=\frac12$$:

$$ f’\!\left(\frac12\right)=\frac{4}{\left(3-2\cdot\frac12\right)^2} =\frac{4}{(3-1)^2} =\frac{4}{4}=1. $$

Тогда $$\tan \varphi = 1$$, значит

$$ \varphi=\arctan 1=\frac{\pi}{4}=45^\circ. $$

б) $$f(x)=\frac{x-1}{x-2}, \quad a=1.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{(x-1)'(x-2)-(x-1)(x-2)’}{(x-2)^2} =\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} =\frac{-1}{(x-2)^2}. $$

Подставим $$x=1$$:

$$ f'(1)=\frac{-1}{(1-2)^2}=-1. $$

Тогда $$\tan \varphi = -1$$, значит

$$ \varphi=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ. $$

Ответ

а) $$45^\circ$$; б) $$-45^\circ$$.