Упр.43.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: a) f(x) = 4 + х2, а = 2; б) f(x) =l-1/x,a = 3; в) f(x) = (1 — x)3, а = -3; г) f(x) = 2х-х3, а = 1?
Угол наклона касательной к оси $$x$$ находим по формуле $$\tg \varphi = f'(a).$$
$$f(x)=4+x^2,\quad a=2.$$
$$f'(x)=2x,$$
$$f'(2)=4.$$
Значит, $$\tg \varphi = 4,$$ откуда
$$\varphi=\arctg 4 \approx 75{,}96^\circ.$$
$$f(x)=1-\frac{1}{x},\quad a=3.$$
$$f'(x)=\frac{1}{x^2},$$
$$f'(3)=\frac{1}{9}.$$
Тогда $$\tg \varphi = \frac{1}{9},$$ значит
$$\varphi=\arctg \frac{1}{9} \approx 6{,}34^\circ.$$
$$f(x)=(1-x)^3,\quad a=-3.$$
$$f'(x)=-3(1-x)^2,$$
$$f'(-3)=-3(1+3)^2=-3\cdot 16=-48.$$
Следовательно, $$\tg \varphi = -48,$$ поэтому
$$\varphi=-\arctg 48 \approx -88{,}81^\circ.$$
$$f(x)=2x-x^3,\quad a=1.$$
$$f'(x)=2-3x^2,$$
$$f'(1)=2-3=-1.$$
Значит, $$\tg \varphi = -1,$$ откуда
$$\varphi=-\frac{\pi}{4}=-45^\circ.$$
Ответ
а) $$\arctg 4 \approx 75{,}96^\circ$$; б) $$\arctg \frac{1}{9} \approx 6{,}34^\circ$$; в) $$-\arctg 48 \approx -88{,}81^\circ$$; г) $$-\frac{\pi}{4}=-45^\circ$$.
