Упр.43.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = arcsin 2x, k = 2; б) f(x) = x — arccos x, k = 2; в) f(x) = 3 + arctg x, k = 1/2 г) f(x) = arcctg 3x, k = 3.

Подробный ответ

а) $$f(x)=\arcsin 2x,\quad k=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.$$
Приравняем к $2$:
$$\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}=2$$
$$\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}=1$$
$$\sqrt{1-4x^2}=1$$
$$1-4x^2=1$$
$$x^2=0,\quad x=0.$$
Тогда
$$y=\arcsin(2\cdot 0)=0.$$
Получаем точку $$\,(0;0).$$
б) $$f(x)=x-\arccos x,\quad k=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Приравняем к $2$:
$$1+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=2$$
$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1$$
$$\sqrt{1-x^2}=1$$
$$1-x^2=1$$
$$x^2=0,\quad x=0.$$
Тогда
$$y=0-\arccos 0=-\frac{\pi}{2}.$$
Получаем точку $$\,(0;-\frac{\pi}{2}).$$
в) $$f(x)=3+\arctg x,\quad k=\frac12.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$
Приравняем к $\frac12$:
$$\frac{1}{1+x^2}=\frac12$$
$$1+x^2=2$$
$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Найдём соответствующие значения функции:
$$y_1=3+\arctg(-1)=3-\frac{\pi}{4},$$
$$y_2=3+\arctg 1=3+\frac{\pi}{4}.$$
Получаем точки $$\,(-1;3-\frac{\pi}{4})$$ и $$\,(1;3+\frac{\pi}{4}).$$
г) $$f(x)=\arcctg 3x,\quad k=3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{3}{1+9x^2}.$$
Приравняем к $3$:
$$-\frac{3}{1+9x^2}=3$$
$$-\frac{1}{1+9x^2}=1$$
$$-1=1+9x^2$$
$$9x^2=-2.$$
Действительных решений нет, значит таких точек не существует.