Упр.43.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите ту точку графика функции у = f(x), в которой угловой коэффициент касательной равен k: a) f(x) = 1,5х2 — х + 1, k = 2; б) f(х) = х + 1/x, k = 3; в) f(x) = х3 — 2х2 + х, k = 1; г) f(x) = x/2 + 2/x, k = -3.
а) $$f(x)=1{,}5x^2-x+1,\quad k=2.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=3x-1.$$
Приравняем её к угловому коэффициенту касательной:
$$3x-1=2,$$
$$3x=3,\quad x=1.$$
Найдём ординату точки:
$$y=f(1)=1{,}5\cdot 1^2-1+1=1{,}5.$$
Точка графика: $$\left(1;\,1{,}5\right).$$
б) $$f(x)=x+\frac{1}{x},\quad k=3.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Производная:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}.$$
Приравняем к $$3$$:
$$1-\frac{1}{x^2}=3,$$
$$-\frac{1}{x^2}=2,$$
$$x^2=-\frac{1}{2}.$$
Действительных решений нет, значит таких точек не существует.
в) $$f(x)=x^3-2x^2+x,\quad k=1.$$
Производная:
$$f'(x)=3x^2-4x+1.$$
Приравняем к $$1$$:
$$3x^2-4x+1=1,$$
$$3x^2-4x=0,$$
$$x(3x-4)=0.$$
Отсюда:
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{4}{3}.$$
Найдём соответствующие значения функции:
$$f(0)=0,$$
$$f\!\left(\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{4}{3}\right)^3-2\left(\frac{4}{3}\right)^2+\frac{4}{3}=\frac{64}{27}-\frac{32}{9}+\frac{4}{3}=\frac{4}{27}.$$
Точки графика: $$\left(0;\,0\right),\ \left(\frac{4}{3};\,\frac{4}{27}\right).$$
г) $$f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x},\quad k=-3.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}.$$
Приравняем к $$-3$$:
$$\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}=-3,$$
$$1-\frac{4}{x^2}=-6,$$
$$7=\frac{4}{x^2},$$
$$x^2=\frac{4}{7},\quad x=\pm \frac{2\sqrt7}{7}.$$
Найдём ординаты:
$$f\!\left(\frac{2\sqrt7}{7}\right)=\frac{1}{\sqrt7}+\sqrt7=\frac{8\sqrt7}{7},$$
$$f\!\left(-\frac{2\sqrt7}{7}\right)=-\frac{1}{\sqrt7}-\sqrt7=-\frac{8\sqrt7}{7}.$$
Точки графика: $$\left(\frac{2\sqrt7}{7};\,\frac{8\sqrt7}{7}\right),\ \left(-\frac{2\sqrt7}{7};\,-\frac{8\sqrt7}{7}\right).$$
Ответ
а) $$\left(1;\,1{,}5\right);$$ б) таких точек не существует; в) $$\left(0;\,0\right),\ \left(\frac{4}{3};\,\frac{4}{27}\right);$$ г) $$\left(\frac{2\sqrt7}{7};\,\frac{8\sqrt7}{7}\right),\ \left(-\frac{2\sqrt7}{7};\,-\frac{8\sqrt7}{7}\right).$$
