Упр.43.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f(x) = |х2 — 5х + 6|, х1 = 0, х2 = 2,5, х3 = 4; б) f(x) = |-х2 + 2х + 3|, x1 = -2, х2 = 1, х3 = 2.

а) $$f(x)=|x^2-5x+6|.$$

Найдём нули выражения под модулем:

$$x^2-5x+6=0$$

$$D=25-24=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}, \quad x_1=2,\; x_2=3.$$

Тогда

$$|x^2-5x+6|=\begin{cases} x^2-5x+6, & x\le 2 \text{ или } x\ge 3,\\ -x^2+5x-6, & 2<x<3. \end{cases}$$

Следовательно,

$$f'(x)=\begin{cases} 2x-5, & x<2 \text{ или } x>3,\\ 5-2x, & 2<x<3. \end{cases}$$

Вычислим значения производной в заданных точках:

$$f'(0)=2\cdot 0-5=-5,$$

$$f'(2{,}5)=5-2\cdot 2{,}5=0,$$

$$f'(4)=2\cdot 4-5=3.$$

б) $$f(x)=|-x^2+2x+3|.$$

Найдём нули выражения под модулем:

$$-x^2+2x+3=0$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=4+12=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}, \quad x_1=-1,\; x_2=3.$$

Тогда

$$|-x^2+2x+3|=\begin{cases} -x^2+2x+3, & -1\le x\le 3,\\ x^2-2x-3, & x<-1 \text{ или } x>3. \end{cases}$$

Следовательно,

$$f'(x)=\begin{cases} -2x+2, & -1<x<3,\\ 2x-2, & x<-1 \text{ или } x>3. \end{cases}$$

Вычислим значения производной в заданных точках:

$$f'(-2)=2\cdot(-2)-2=-6,$$

$$f'(1)=-2\cdot 1+2=0,$$

$$f'(2)=-2\cdot 2+2=-2.$$

Ответ

а) $$-5;\ 0;\ 3.$$
б) $$-6;\ 0;\ -2.$$