Упр.42.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = корень (1-х2) + cos3 x; б) y = корень tg x / (x2 + 1); в) y = sin2 x * cos корень x; г) y = корень ctg x / x3.

1. а) $$y=\sqrt{1-x^2}+\cos^3 x$$

   Найдём производные слагаемых:

   $$ \left(\sqrt{1-x^2}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $$

   $$ (\cos^3 x)’=3\cos^2 x\cdot(-\sin x)=-3\sin x\cos^2 x $$

   Тогда

   $$ y’=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-3\sin x\cos^2 x $$

2. б) $$y=\frac{\sqrt{\tg x}}{x^2+1}$$

   Пусть $$u=\tg x,$$ тогда $$\sqrt{\tg x}=\sqrt{u}.$$ Найдём производную числителя:

   $$ \left(\sqrt{\tg x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}}\cdot(\tg x)’=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}\cos^2 x} $$

   По формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\sqrt{\tg x}\right)'(x^2+1)-\sqrt{\tg x}\cdot(2x)}{(x^2+1)^2} $$

   $$ y’=\frac{\frac{x^2+1}{2\sqrt{\tg x}\cos^2 x}-2x\sqrt{\tg x}}{(x^2+1)^2} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ y’=\frac{x^2+1-4x\,\tg x\,\cos^2 x}{2(x^2+1)^2\sqrt{\tg x}\cos^2 x} $$

   Так как $$\tg x\cdot \cos^2 x=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x,$$ получаем

   $$ y’=\frac{x^2+1-2x\sin 2x}{2(x^2+1)^2\sqrt{\tg x}\cos^2 x} $$

3. в) $$y=\sin^2 x\cdot \cos\sqrt{x}$$

   Используем правило произведения:

   $$ (\sin^2 x)’=2\sin x\cos x=\sin 2x $$

   $$ (\cos\sqrt{x})’=-\sin\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} $$

   Тогда

   $$ y’=\sin 2x\cdot \cos\sqrt{x}-\sin^2 x\cdot \frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} $$

4. г) $$y=\frac{\sqrt{\ctg x}}{x^3}$$

   Пусть $$u=\ctg x,$$ тогда $$\sqrt{\ctg x}=\sqrt{u}.$$ Найдём производную числителя:

   $$ \left(\sqrt{\ctg x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}}\cdot(\ctg x)’=\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}}\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) =-\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}\sin^2 x} $$

   По формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{\left(\sqrt{\ctg x}\right)’x^3-\sqrt{\ctg x}\cdot 3x^2}{x^6} $$

   $$ y’=\frac{-\frac{x^3}{2\sqrt{\ctg x}\sin^2 x}-3x^2\sqrt{\ctg x}}{x^6} $$

   Приведём к общему знаменателю и упростим:

   $$ y’=-\frac{x+6\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}{2x^4\sin^2 x\sqrt{\ctg x}} $$

Ответ

$$\text{а) } y’=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}-3\sin x\cos^2 x;$$
$$\text{б) } y’=\frac{x^2+1-2x\sin 2x}{2(x^2+1)^2\sqrt{\tg x}\cos^2 x};$$
$$\text{в) } y’=\sin 2x\cdot \cos\sqrt{x}-\frac{\sin^2 x\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}};$$
$$\text{г) } y’=-\frac{x+6\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}{2x^4\sin^2 x\sqrt{\ctg x}}.$$