Упр.42.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = sin3 х; б) у = корень ctg x; в) у = tg5 х; г) у = tg (х + x3).

Найдём производные функций, используя правило цепочки.

1. $$y=\sin^3 x$$

   Пусть $$u=\sin x$$, тогда $$y=u^3$$.

   $$y’=(u^3)’ \cdot (\sin x)’=3u^2\cos x=3\sin^2 x\cos x.$$

2. $$y=\sqrt{\operatorname{ctg} x}$$

   Пусть $$u=\operatorname{ctg} x$$, тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$y’=(\sqrt{u})’ \cdot (\operatorname{ctg} x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x}\,\sin^2 x}.$$

3. $$y=\operatorname{tg}^5 x$$

   Пусть $$u=\operatorname{tg} x$$, тогда $$y=u^5.$$

   $$y’=(u^5)’ \cdot (\operatorname{tg} x)’=5u^4\cdot\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{5\operatorname{tg}^4 x}{\cos^2 x}.$$

4. $$y=\operatorname{tg}(x+x^3)$$

   Пусть $$u=x+x^3$$, тогда $$y=\operatorname{tg}u.$$

   $$y’=(\operatorname{tg}u)’\cdot(x+x^3)’=\frac{1}{\cos^2 u}\cdot(1+3x^2)=\frac{1+3x^2}{\cos^2(x+x^3)}.$$

Ответ

$$y’ = 3\sin^2 x\cos x; \quad y’=-\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{ctg} x}\,\sin^2 x}; \quad y’=\frac{5\operatorname{tg}^4 x}{\cos^2 x}; \quad y’=\frac{1+3x^2}{\cos^2(x+x^3)}.$$