Упр.42.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = (1 — х3)5; б) у = корень(x3 + 3х2 — 2х + 1); в) у = корень 1/(x2 — 7x + 8)2 г) у = корень ((x2 — 1)/(x2 + 5))

1. $$y=(1-x^3)^5$$

   Пусть $$u=1-x^3$$, тогда $$y=u^5$$.

   По правилу цепочки:

   $$y’=(u^5)’ \cdot u’ = 5u^4 \cdot (-3x^2) = -15x^2(1-x^3)^4.$$

2. $$y=\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}$$

   Пусть $$u=x^3+3x^2-2x+1$$, тогда $$y=\sqrt{u}$$.

   Тогда

   $$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{3x^2+6x-2}{2\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}}.$$

3. $$y=\frac{1}{(x^2-7x+8)^2}$$

   Пусть $$u=x^2-7x+8$$, тогда $$y=\frac{1}{u^2}=u^{-2}$$.

   Тогда

   $$y’=-2u^{-3}\cdot u’=-2(x^2-7x+8)^{-3}(2x-7).$$

   Следовательно,

   $$y’=\frac{14-4x}{(x^2-7x+8)^3}.$$

4. $$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+5}}$$

   Пусть $$u=\frac{x^2-1}{x^2+5}$$, тогда $$y=\sqrt{u}$$.

   Найдём производную $$u$$:

   $$u’=\frac{(x^2-1)'(x^2+5)-(x^2-1)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2}$$

   $$u’=\frac{2x(x^2+5)-2x(x^2-1)}{(x^2+5)^2}=\frac{12x}{(x^2+5)^2}.$$

   Тогда

   $$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{12x}{2(x^2+5)^2\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+5}}}=\frac{6x}{(x^2+5)\sqrt{x^2+5}\sqrt{x^2-1}}.$$

Ответ

а) $$y’=-15x^2(1-x^3)^4$$;
б) $$y’=\frac{3x^2+6x-2}{2\sqrt{x^3+3x^2-2x+1}}$$;
в) $$y’=\frac{14-4x}{(x^2-7x+8)^3}$$;
г) $$y’=\frac{6x}{(x^2+5)\sqrt{x^2+5}\sqrt{x^2-1}}$$.