Упр.42 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) 2v(x-1) — v(x+4) = 1;
б) v(x+3) — v(2x-1) = v(3x-2);
в) v(x+6) — 2v(x-2) = 1;
г) v(x+1) — v(x-2) = v(2x-5).

Подробный ответ

$$2\sqrt{x-1}-\sqrt{x+4}=1$$
$$2\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4}$$
$$4(x-1)=1+2\sqrt{x+4}+x+4$$
$$4x-4=x+5+2\sqrt{x+4}$$
$$3x-9=2\sqrt{x+4}$$
$$9x^2-54x+81=4(x+4)$$
$$9x^2-58x+65=0$$
$$D=58^2-4\cdot 9\cdot 65=1024$$
$$x_1=\frac{58-32}{18}=\frac{13}{9},\qquad x_2=\frac{58+32}{18}=5$$
Проверка области допустимых значений: $$x\ge 1$$, а из $$3x-9\ge 0$$ получаем $$x\ge 3$$. Подходит только $$x=5$$.
$$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$$
$$\sqrt{x+3}= \sqrt{2x-1}+\sqrt{3x-2}$$
Возведём в квадрат:
$$x+3=2x-1+3x-2+2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$
$$-2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}=-4x+6$$
$$\sqrt{(2x-1)(3x-2)}=2x-3$$
$$6x^2-7x+2=4x^2-12x+9$$
$$2x^2+5x-7=0$$
$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 7=81$$
$$x_1=\frac{-5-9}{4}=-\frac{7}{2},\qquad x_2=\frac{-5+9}{4}=1$$
По ОДЗ: $$x+3\ge 0,\; 2x-1\ge 0,\; 3x-2\ge 0$$, значит $$x\ge \frac{2}{3}$$. Подходит только $$x=1$$.
$$\sqrt{x+6}-2\sqrt{x-2}=1$$
$$\sqrt{x+6}=2\sqrt{x-2}+1$$
$$x+6=4(x-2)+4\sqrt{x-2}+1$$
$$x+5=4x-7+4\sqrt{x-2}$$
$$12-3x=4\sqrt{x-2}$$
$$144-72x+9x^2=16(x-2)$$
$$9x^2-88x+176=0$$
$$D=88^2-4\cdot 9\cdot 176=1600$$
$$x_1=\frac{88-40}{18}=\frac{8}{3},\qquad x_2=\frac{88+40}{18}=\frac{64}{9}$$
По ОДЗ: $$x\ge 2$$, а из $$12-3x\ge 0$$ получаем $$x\le 4$$. Подходит только $$x=\frac{8}{3}$$.
$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}=\sqrt{2x-5}$$
$$\sqrt{x+1}= \sqrt{x-2}+\sqrt{2x-5}$$
Возведём в квадрат:
$$x+1=x-2+2x-5+2\sqrt{(x-2)(2x-5)}$$
$$-2\sqrt{(x-2)(2x-5)}=-2x+6$$
$$\sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-3$$
$$2x^2-9x+10=x^2-6x+9$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$
По ОДЗ: $$x\ge \frac{5}{2}$$, значит подходит только $$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$.