Упр.42.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство (f'(x))2 > 1, если: a) f(х) = arcsin 2х; б) f(x) = 2 arccos корень х.

а) $$f(x)=\arcsin 2x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(2x)’}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}.$$

Тогда

$$\left(f'(x)\right)^2>1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4}{1-4x^2}>1.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{4-(1-4x^2)}{1-4x^2}>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{3+4x^2}{1-4x^2}>0.$$

Числитель $$3+4x^2>0$$ при всех $$x$$, значит нужно, чтобы

$$1-4x^2>0.$$

Отсюда

$$4x^2<1,\qquad x^2<\frac14,\qquad -\frac12<x<\frac12.$$

б) $$f(x)=2\arccos\sqrt{x}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cdot\left(\arccos\sqrt{x}\right)’=2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}.$$

Тогда

$$\left(f'(x)\right)^2>1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{x-x^2}>1.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{1-(x-x^2)}{x-x^2}>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1-x+x^2}{x-x^2}>0.$$

Числитель

$$x^2-x+1>0$$

при всех $$x$$, так как

$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=-3<0.$$

Значит, нужно, чтобы

$$x-x^2>0 \;\Longleftrightarrow\; x(1-x)>0 \;\Longleftrightarrow\; 0<x<1.$$

Ответ

а) $$-\frac12<x<\frac12$$; б) $$0<x<1$$.