Упр.42.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Решите уравнение f'(x) = 2, если f(x) = arctg (2х). б) Найдите те значения х, при которых выполняется равенство (f'(х))2 = 1/x, где f(x) = 2 arcsin корень х.

1. а) $$f(x)=\arctg(2x), \quad f'(x)=2.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot 2=\frac{2}{1+4x^2}.$$

   Решим уравнение:

   $$\frac{2}{1+4x^2}=2.$$

   $$2=2(1+4x^2),$$

   $$2=2+8x^2,$$

   $$8x^2=0,$$

   $$x=0.$$

2. б) $$f(x)=2\arcsin\sqrt{x}, \quad (f'(x))^2=\frac{1}{x}.$$

   Область определения: $$0< x \le 1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}.$$

   Тогда

   $$\left(f'(x)\right)^2=\frac{1}{x(1-x)}.$$

   По условию:

   $$\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{x}.$$

   Так как $$x>0,$$ умножим на $$x(1-x):$$

   $$1=1-x,$$

   $$x=0.$$

   Но $$x=0$$ не входит в область определения, значит решений нет.

Ответ

а) $$x=0$$; б) решений нет.