Упр.42.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х: a) h(x) = arcsin (Зх — 2), х0 = 2/3 б) h(x) = arcsin х • arccos х, х0 = 0.

Тангенс угла между касательной и осью $$x$$ равен значению производной в точке касания: $$\tg \alpha = h'(x_0).$$

1. $$h(x)=\arcsin(3x-2), \quad x_0=\frac{2}{3}.$$

   Пусть $$u=3x-2$$. Тогда $$h(x)=\arcsin u$$, и по правилу цепочки

   $$ h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=\frac{1}{\sqrt{1-(3x-2)^2}}\cdot 3 =\frac{3}{\sqrt{1-(3x-2)^2}}. $$

   Найдём значение производной в точке $$x_0=\frac{2}{3}$$:

   $$ h’\!\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{3}{\sqrt{1-\left(3\cdot \frac{2}{3}-2\right)^2}} =\frac{3}{\sqrt{1-0}}=3. $$

   Следовательно, $$\tg \alpha = 3.$$

2. $$h(x)=\arcsin x \cdot \arccos x, \quad x_0=0.$$

   По правилу произведения:

   $$ h'(x)=(\arcsin x)’\cdot \arccos x+\arcsin x\cdot (\arccos x)’. $$

   Так как

   $$ (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad (\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, $$

   то

   $$ h'(x)=\frac{\arccos x-\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}. $$

   Подставим $$x_0=0$$:

   $$ h'(0)=\frac{\arccos 0-\arcsin 0}{\sqrt{1-0^2}} =\frac{\frac{\pi}{2}-0}{1} =\frac{\pi}{2}. $$

   Следовательно, $$\tg \alpha = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$.