Упр.42.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите скорость изменения функции у = g(x) в точке х0: a) g(x) = arctg (1 — 3x), х0 = 1/3 б) g(x) = arcsin корень х; х0 = 0,25; в) g(x) = arccos (2х — 3), х0 = 1,5; г) g(x) = корень arcctg x, х0 = 0.

1. $$g(x)=\arctg(1-3x), \quad x_0=\frac13.$$

   Пусть $$u=1-3x,$$ тогда $$g(x)=\arctg u.$$

   $$g'(x)=\frac{1}{1+u^2}\cdot u’=\frac{1}{1+(1-3x)^2}\cdot(-3)=\frac{-3}{1+(1-3x)^2}.$$

   $$g’\!\left(\frac13\right)=\frac{-3}{1+\left(1-3\cdot\frac13\right)^2}=\frac{-3}{1+0}=-3.$$

2. $$g(x)=\arcsin\sqrt{x}, \quad x_0=0{,}25=\frac14.$$

   Пусть $$u=\sqrt{x},$$ тогда $$g(x)=\arcsin u.$$

   $$g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}.$$

   $$g’\!\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac14}\sqrt{1-\frac14}}=\frac{1}{2\cdot\frac12\cdot\sqrt{\frac34}}=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.$$

3. $$g(x)=\arccos(2x-3), \quad x_0=1{,}5.$$

   Пусть $$u=2x-3,$$ тогда $$g(x)=\arccos u.$$

   $$g'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=-\frac{1}{\sqrt{1-(2x-3)^2}}\cdot 2=-\frac{2}{\sqrt{1-(2x-3)^2}}.$$

   $$g'(1{,}5)=-\frac{2}{\sqrt{1-(2\cdot1{,}5-3)^2}}=-\frac{2}{\sqrt{1-0}}=-2.$$

4. $$g(x)=\sqrt{\operatorname{arcctg}x}, \quad x_0=0.$$

   Пусть $$u=\operatorname{arcctg}x,$$ тогда $$g(x)=\sqrt{u}.$$

   $$g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u’=\frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arcctg}x}}\cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)=-\frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\operatorname{arcctg}x}}.$$

   $$g'(0)=-\frac{1}{2(1+0^2)\sqrt{\operatorname{arcctg}0}}=-\frac{1}{2\sqrt{\frac{\pi}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.$$

Ответ

а) $$-3$$; б) $$\frac{2\sqrt3}{3}$$; в) $$-2$$; г) $$-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$.