Упр.42.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите значение производной функции в точке х0 a) у = (arccos х)3, х0 = 0; б) у = 2/корень3 arctg (2x + 1)/корень3, x0 = -1; в) у = arcsin корень x, x0 = 1/2; г) у = arccos (2 -x)/x корень2, x0 = 1.

Подробный ответ

$$y=(\arccos x)^3,\quad x_0=0$$
Пусть $$u=\arccos x$$, тогда $$y=u^3$$.
$$y’ = 3u^2 \cdot u’ = 3(\arccos x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$y'(0)=-\frac{3(\arccos 0)^2}{\sqrt{1-0^2}}=-3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=-\frac{3\pi^2}{4}$$
$$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt{3}},\quad x_0=-1$$
Пусть $$u=\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$$, тогда $$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctg u$$.
$$y’=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{1+u^2}\cdot u’=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3\left(1+\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}$$
$$y'(-1)=\frac{4}{3\left(1+\left(\frac{-2+1}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}=\frac{4}{3\left(1+\frac{1}{3}\right)}=\frac{4}{4}=1$$
$$y=\arcsin\sqrt{x},\quad x_0=\frac{1}{2}$$
Пусть $$u=\sqrt{x}$$, тогда $$y=\arcsin u$$.
$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$$
$$y’\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}}=1$$
$$y=\arccos\frac{2-x}{x\sqrt{2}},\quad x_0=1$$
Пусть $$u=\frac{2-x}{x\sqrt{2}}$$, тогда $$y=\arccos u$$.
$$u’=\frac{(2-x)’ \cdot x\sqrt{2}-(2-x)\cdot (x\sqrt{2})’}{(x\sqrt{2})^2}=\frac{(-1)\cdot x\sqrt{2}-(2-x)\sqrt{2}}{2x^2}=-\frac{\sqrt{2}}{x^2}$$
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot u’=\frac{\sqrt{2}}{x^2\sqrt{1-\left(\frac{2-x}{x\sqrt{2}}\right)^2}}$$
$$y'(1)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{2-1}{1\cdot \sqrt{2}}\right)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=2$$