Упр.42.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите производную функции: a) у = arcsin Зх; б) у = arctg х2; в) у = (arccos х)3; г) у = arcctg корень х.

1. $$y=\arcsin 3x$$

   Пусть $$u=3x$$, тогда $$y=\arcsin u$$. По формуле производной сложной функции:

   $$y’=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot (3x)’=\frac{1}{\sqrt{1-9x^2}}\cdot 3=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}.$$

2. $$y=\arctg x^2$$

   Пусть $$u=x^2$$, тогда $$y=\arctg u$$. Тогда

   $$y’=\frac{1}{1+u^2}\cdot (x^2)’=\frac{1}{1+x^4}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}.$$

3. $$y=(\arccos x)^3$$

   Пусть $$u=\arccos x$$, тогда $$y=u^3$$. Тогда

   $$y’=3u^2\cdot u’ = 3(\arccos x)^2\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=-\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

4. $$y=\arcctg \sqrt{x}$$

   Пусть $$u=\sqrt{x}$$, тогда $$y=\arcctg u$$. Тогда

   $$y’=-\frac{1}{1+u^2}\cdot (\sqrt{x})’=-\frac{1}{1+x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}.$$

Ответ

$$\text{а) } y’=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}};\quad \text{б) } y’=\frac{2x}{1+x^4};\quad \text{в) } y’=-\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}};\quad \text{г) } y’=-\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}.$$