Упр.42.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) f'(x) = sin (3x — пи/3); б) f'(x) = 4/(cos2 (5x — 1)).

Найдём первообразную для каждой функции.

1. $$f'(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Положим $$u=3x-\frac{\pi}{3},$$ тогда $$u’=3.$$

   Используем формулу:

   $$\int \sin u \, du=-\cos u + C.$$

   Тогда

   $$f(x)=\int \sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\,dx=-\frac{1}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C.$$

2. $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2(5x-1)}.$$

   Положим $$u=5x-1,$$ тогда $$u’=5.$$

   Так как $$\frac{1}{\cos^2 u}=\sec^2 u,$$ а также

   $$\int \frac{1}{\cos^2 u}\,du=\tg u + C,$$

   получаем

   $$f(x)=\int \frac{4}{\cos^2(5x-1)}\,dx=\frac{4}{5}\tg(5x-1)+C.$$

Ответ

а) $$f(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C$$;

б) $$f(x)=\frac{4}{5}\tg(5x-1)+C$$.