Упр.42.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции у = h(x) образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: a) h(x) = 2 • корень(2х — 4), а = 60°; б) h(x) = sin (4x — пи/3), a = 0°.

Подробный ответ

а) $$h(x)=2\sqrt{2x-5}, \quad \alpha=60^\circ.$$
Угол наклона касательной задаёт её угловой коэффициент:
$$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=2\cdot \left(\sqrt{2x-5}\right)’=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-5}}=\frac{2}{\sqrt{2x-5}}.$$
Приравниваем производную к $$\tan \alpha$$:
$$ \frac{2}{\sqrt{2x-5}}=\sqrt{3} $$
$$ \sqrt{2x-5}=\frac{2}{\sqrt{3}} $$
$$ 2x-5=\frac{4}{3} $$
$$ 2x=\frac{19}{3}, \quad x=\frac{19}{6}. $$
б) $$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right), \quad \alpha=0^\circ.$$
Тогда
$$k=\tan 0^\circ=0.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Приравниваем к нулю:
$$ 4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0 $$
$$ \cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0 $$
Отсюда
$$ 4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$
$$ 4x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\pi n=\frac{5\pi}{6}+\pi n $$
$$ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}. $$