Упр.42.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f(x) = g'(x), если: a) f(х) = sin (2х — 3), g(x) = cos (2х — 3); б) f(x) =корень(3x — 10), g(x) = корень(14 + 6x).
а) $$f(x)=\sin(2x-3), \quad g(x)=\cos(2x-3).$$
Найдём производную функции $$g(x)$$:
$$g'(x)=\bigl(\cos(2x-3)\bigr)’=-2\sin(2x-3).$$
По условию $$f(x)=g'(x)$$, значит
$$\sin(2x-3)=-2\sin(2x-3).$$
$$3\sin(2x-3)=0,$$
$$\sin(2x-3)=0.$$
Тогда
$$2x-3=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Отсюда
$$x=\frac{3+\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$f(x)=\sqrt{3x-10}, \quad g(x)=\sqrt{14+6x}.$$
Найдём производные:
$$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}, \qquad g'(x)=\frac{6}{2\sqrt{14+6x}}=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}.$$
По условию $$f'(x)=g'(x)$$:
$$\frac{3}{2\sqrt{3x-10}}=\frac{3}{\sqrt{14+6x}}.$$
Сократим на $$3$$ и перемножим крест-накрест:
$$\sqrt{14+6x}=2\sqrt{3x-10}.$$
Возведём в квадрат:
$$14+6x=4(3x-10).$$
$$14+6x=12x-40,$$
$$6x=54,$$
$$x=9.$$
Проверка области определения: $$3x-10\ge 0$$ и $$14+6x\ge 0$$, при $$x=9$$ условия выполняются.
Ответ
а) $$x=\frac{3+\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=9.$$
