Упр.42.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Проверьте равенство g'(х) = f(x), если: a) g(х) = (1 — х2) sin х2 — cos х2, f(x) = 2(х — x3) cos x2; б) g(x) = (х2 — 1,5) cos 2х — х sin 2х, f(x) = (2 — 2×2) sin 2х.

а) $$g(x)=(1-x^2)\sin x^2-\cos x^2,$$ $$f(x)=2(x-x^3)\cos x^2.$$

Найдём производную:

$$ g'(x)=\bigl((1-x^2)\sin x^2\bigr)’-(\cos x^2)’. $$

$$ \bigl((1-x^2)\sin x^2\bigr)’=(1-x^2)’\sin x^2+(1-x^2)(\sin x^2)’ $$
$$ =-2x\sin x^2+(1-x^2)\cdot 2x\cos x^2, $$

$$ (\cos x^2)’=-2x\sin x^2. $$

Тогда

$$ g'(x)=-2x\sin x^2+(1-x^2)\cdot 2x\cos x^2+2x\sin x^2 $$
$$ =2x(1-x^2)\cos x^2=2(x-x^3)\cos x^2=f(x). $$

Следовательно, $$g'(x)=f(x).$$

б) $$g(x)=(x^2-1{,}5)\cos 2x-x\sin 2x,$$ $$f(x)=(2-2x^2)\sin 2x.$$

Найдём производную:

$$ g'(x)=\bigl((x^2-1{,}5)\cos 2x\bigr)’-(x\sin 2x)’. $$

$$ \bigl((x^2-1{,}5)\cos 2x\bigr)’=2x\cos 2x+(x^2-1{,}5)(-2\sin 2x), $$

$$ (x\sin 2x)’=\sin 2x+2x\cos 2x. $$

Тогда

$$ g'(x)=2x\cos 2x-2(x^2-1{,}5)\sin 2x-\sin 2x-2x\cos 2x $$
$$ =(-2x^2+3)\sin 2x-\sin 2x $$
$$ =(2-2x^2)\sin 2x=f(x). $$

Следовательно, $$g'(x)=f(x).$$

Ответ

а) $$g'(x)=f(x)$$; б) $$g'(x)=f(x)$$.