Упр.42.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство g'(x) > 0, если: a) g(x) = ((2x — 1)4)/((3x + 2)5); б) g(x) = ((4 — 3x)4)/((5x — 4)3).
а) $$g(x)=\frac{(2x-1)^4}{(3x+2)^5}.$$
Найдём производную по правилу производной частного:
$$ g'(x)=\frac{4(2x-1)^3\cdot 2\cdot (3x+2)^5-(2x-1)^4\cdot 5(3x+2)^4\cdot 3}{(3x+2)^{10}}. $$
Вынесем общий множитель:
$$ g'(x)=\frac{(2x-1)^3(3x+2)^4\bigl(8(3x+2)-15(2x-1)\bigr)}{(3x+2)^{10}} =\frac{(2x-1)^3(31-6x)}{(3x+2)^6}. $$
Так как $$ (3x+2)^6>0 $$ при $$x\ne -\frac23,$$ то нужно решить неравенство
$$ (2x-1)^3(31-6x)>0. $$
Критические точки: $$x=\frac12$$ и $$x=\frac{31}{6}.$$
Знак произведения положителен между этими точками:
$$ \frac12<x<\frac{31}{6}. $$
б) $$g(x)=\frac{(4-3x)^4}{(5x-4)^3}.$$
Найдём производную:
$$ g'(x)=\frac{4(4-3x)^3\cdot(-3)\cdot(5x-4)^3-(4-3x)^4\cdot 3(5x-4)^2\cdot 5}{(5x-4)^6}. $$
Вынесем общий множитель:
$$ g'(x)=\frac{(4-3x)^3\bigl(-12(5x-4)-15(4-3x)\bigr)}{(5x-4)^4} =\frac{(4-3x)^3(15x+12)}{(5x-4)^4}. $$
Так как $$ (5x-4)^4>0 $$ при $$x\ne \frac45,$$ то решаем неравенство
$$ (4-3x)^3(15x+12)>0. $$
Критические точки: $$x=\frac43$$ и $$x=-\frac45.$$
Знак произведения положителен на промежутках
$$ x<-\frac45 \quad \text{и} \quad x>\frac43. $$
Ответ
а) $$\frac12<x<\frac{31}{6}$$; б) $$x<-\frac45$$ или $$x>\frac43$$.
