Упр.42.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство y’ = < 0, если: a) y = ((1 - 3x)3)/((2 - 7x)5) б) y = ((2x + 3)4)/((2 - 5x)5).

Подробный ответ

а) $$y=\frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}, \quad y’ \le 0.$$

Найдём производную по правилу дроби:

$$ y’=\frac{(1-3x)^3{}'(2-7x)^5-(1-3x)^3(2-7x)^5{}’}{(2-7x)^{10}} $$
$$ =\frac{-9(1-3x)^2(2-7x)^5+35(1-3x)^3(2-7x)^4}{(2-7x)^{10}} $$
$$ =\frac{(1-3x)^2\bigl(-9(2-7x)+35(1-3x)\bigr)}{(2-7x)^6} $$
$$ =\frac{(1-3x)^2(17-42x)}{(2-7x)^6}. $$

Решаем неравенство:

$$ \frac{(1-3x)^2(17-42x)}{(2-7x)^6}\le 0. $$

Так как $$ (2-7x)^6>0 $$ при $$ x\ne \frac27 $$, а $$ (1-3x)^2\ge 0 $$, то знак выражения определяется множителем $$17-42x$$. Получаем:

$$ 17-42x\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge \frac{17}{42}. $$

Точка $$x=\frac13$$ даёт нуль производной, поэтому входит в ответ.

б) $$y=\frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}, \quad y’ \le 0.$$

Найдём производную:

$$ y’=\frac{(2x+3)^4{}'(2-5x)^5-(2x+3)^4(2-5x)^5{}’}{(2-5x)^{10}} $$
$$ =\frac{8(2x+3)^3(2-5x)^5+25(2x+3)^4(2-5x)^4}{(2-5x)^{10}} $$
$$ =\frac{(2x+3)^3\bigl(8(2-5x)+25(2x+3)\bigr)}{(2-5x)^6} $$
$$ =\frac{(2x+3)^3(10x+91)}{(2-5x)^6}. $$

Решаем неравенство:

$$ \frac{(2x+3)^3(10x+91)}{(2-5x)^6}\le 0. $$

Так как $$ (2-5x)^6>0 $$ при $$ x\ne \frac25 $$, остаётся:

$$ (2x+3)^3(10x+91)\le 0. $$

Критические точки:

$$ 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32,\qquad 10x+91=0 \Rightarrow x=-\frac{91}{10}. $$

Произведение неположительно на промежутке между этими точками, включая концы:

$$ x\in\left[-\frac{91}{10},-\frac32\right]. $$