Упр.42.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение f(x) = 0, если: a) f(x) = корень cos 2х; б) f(x) = tg2 x; в) f(x) = sin4 x; г) f{x) = cos3 x — sin3 x.

1. а) $$f(x)=\sqrt{\cos 2x}$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=\left(\sqrt{\cos 2x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}}\cdot(-2\sin 2x)=-\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}.$$
   Тогда
   $$f'(x)=0 \iff \sin 2x=0.$$
   Отсюда
   $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
   Эти значения подходят области определения, так как при них $$\cos 2x=1\ge 0.$$

2. б) $$f(x)=\tg^2 x$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=\left(\tg^2 x\right)’=2\tg x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{2\tg x}{\cos^2 x}.$$
   Тогда
   $$f'(x)=0 \iff \tg x=0.$$
   Следовательно,
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$f(x)=\sin^4 x$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=\left(\sin^4 x\right)’=4\sin^3 x\cos x=2\sin^2 x\sin 2x.$$
   Тогда
   $$f'(x)=0 \iff \sin^2 x=0 \ \text{или}\ \sin 2x=0.$$
   Оба условия дают один и тот же набор решений:
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$f(x)=\cos^3 x-\sin^3 x$$

   Найдём производную:
   $$f'(x)=\left(\cos^3 x\right)’-\left(\sin^3 x\right)’=-3\sin x\cos^2 x-3\cos x\sin^2 x.$$
   Вынесем общий множитель:
   $$f'(x)=-3\sin x\cos x(\cos x+\sin x).$$
   Тогда
   $$f'(x)=0 \iff \sin x=0 \ \text{или}\ \cos x=0 \ \text{или}\ \cos x+\sin x=0.$$
   Отсюда
   $$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$