Упр.42.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Дано: f(x) = a sin 2х + b cos x, f'(пи/6) = 2, f'(9пи/2) = -4. Чему равны а и b? б) Дано: f(x) = a cos 2х + b sin 4x, f'(7пи/12) = 4, f'(3пи/4) = 2. Чему равны а и b?

а) $$f(x)=a\sin 2x+b\cos x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2a\cos 2x-b\sin x$$

Подставим данные значения:

$$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=2a\cos\frac{\pi}{3}-b\sin\frac{\pi}{6}=a-\frac{b}{2}=2$$

$$f’\left(\frac{9\pi}{2}\right)=2a\cos 9\pi-b\sin\frac{9\pi}{2}=-2a-b=-4$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a-\frac{b}{2}=2,\\ -2a-b=-4. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$a=2+\frac{b}{2}$$

Подставим во второе:

$$-2\left(2+\frac{b}{2}\right)-b=-4$$

$$-4-b-b=-4$$

$$-2b=0$$

$$b=0$$

Тогда

$$a=2$$

б) $$f(x)=a\cos 2x+b\sin 4x$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2a\sin 2x+4b\cos 4x$$

Подставим данные значения:

$$f’\left(\frac{7\pi}{12}\right)=-2a\sin\frac{7\pi}{6}+4b\cos\frac{7\pi}{3}=a+2b=4$$

$$f’\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2a\sin\frac{3\pi}{2}+4b\cos 3\pi=2a-4b=2$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+2b=4,\\ 2a-4b=2. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$a=4-2b$$

Подставим во второе:

$$2(4-2b)-4b=2$$

$$8-4b-4b=2$$

$$-8b=-6$$

$$b=\frac{3}{4}$$

Тогда

$$a=4-2\cdot\frac{3}{4}=\frac{5}{2}$$

Ответ

а) $$a=2,\ b=0$$; б) $$a=\frac{5}{2},\ b=\frac{3}{4}$$.