Упр.42.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0: a) f(x) = tg3 х; б) f(x) = sin2 х cos 2х.

а) $$f(x)=\tg^3 x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3\tg^2 x\cdot (\tg x)’=3\tg^2 x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$

Угловой коэффициент касательной равен $$0$$, значит,

$$3\tg^2 x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=0.$$

Так как $$\cos x\neq 0$$ в области определения функции, получаем

$$\tg^2 x=0,\quad \tg x=0.$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$f(x)=\sin^2 x\cdot \cos 2x.$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$f'(x)=(\sin^2 x)’\cos 2x+\sin^2 x\cdot (\cos 2x)’.$$

$$f'(x)=2\sin x\cos x\cdot \cos 2x+\sin^2 x\cdot (-2\sin 2x).$$

Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ то

$$f'(x)=\sin 2x\cos 2x-2\sin^2 x\sin 2x.$$

Вынесем $$\sin 2x$$ за скобки:

$$f'(x)=\sin 2x\bigl(\cos 2x-2\sin^2 x\bigr).$$

Используем формулу $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$:

$$f'(x)=\sin 2x\bigl(\cos 2x-(1-\cos 2x)\bigr)=\sin 2x(2\cos 2x-1).$$

Теперь решаем уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\sin 2x(2\cos 2x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$2\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$