Упр.42.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) равен а, если: a) f(x) = sin x cos x, k = -корень2 / 2; б) f(x) = cos2 x, k = 1/2.

а) $$f(x)=\sin x\cos x,\quad k=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

Тогда нужно решить уравнение

$$\cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

значит,

$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=\cos^2 x,\quad k=\frac12.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

Тогда

$$-\sin 2x=\frac12,$$

то есть

$$\sin 2x=-\frac12.$$

Решаем уравнение:

$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$