Упр.42.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х: a) h(x) = 18 /(4x + 1), х0 = 0,5; б) h(x) = cos3 x, х0 = пи/6; в) h(x) = корень(6 — 2х), х0 = 1; г) h(x) = корень(tg x), х0 = пи/4.
$$h(x)=\frac{18}{4x+1}, \quad x_0=0{,}5.$$
Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке:
$$\tg \alpha = h'(x_0).$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\left(\frac{18}{4x+1}\right)’=-\frac{18\cdot 4}{(4x+1)^2}=-\frac{72}{(4x+1)^2}.$$
Тогда
$$\tg \alpha = h'(0{,}5)=-\frac{72}{(4\cdot 0{,}5+1)^2}=-\frac{72}{3^2}=-8.$$
$$h(x)=\cos^3 x, \quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=3\cos^2 x\cdot(-\sin x)=-3\sin x\cos^2 x.$$
Тогда
$$\tg \alpha = h’\left(\frac{\pi}{6}\right)=-3\cdot \sin\frac{\pi}{6}\cdot \cos^2\frac{\pi}{6}=-3\cdot \frac12 \cdot \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=-\frac98=-1\frac18.$$
$$h(x)=\sqrt{6-2x}, \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\left(\sqrt{6-2x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{6-2x}}\cdot(-2)=-\frac{1}{\sqrt{6-2x}}.$$
Тогда
$$\tg \alpha = h'(1)=-\frac{1}{\sqrt{6-2\cdot 1}}=-\frac{1}{\sqrt4}=-\frac12.$$
$$h(x)=\sqrt{\tg x}, \quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\left(\sqrt{\tg x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}\cos^2 x}.$$
Тогда
$$\tg \alpha = h’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\tg\frac{\pi}{4}}\cos^2\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2\cdot 1\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=1.$$
Ответ
а) $$-8$$; б) $$-\frac98$$; в) $$-\frac12$$; г) $$1$$.
