Упр.42.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = h(x): a) g(x) = sin (3x — пи/6), h(x) = 6x — 12; б) g(x) = sin (пи/4 — 2x), h(x) = 3 — корень2 x.

Подробный ответ

а) Найдём производные функций:

$$ g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right), \qquad h(x)=6x-12 $$
$$ g'(x)=3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right), \qquad h'(x)=6 $$
Требуется, чтобы скорость изменения функции $g(x)$ была больше скорости изменения функции $h(x)$:
$$ g'(x)>h'(x) $$
$$ 3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>6 $$
$$ \cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>2 $$
Но значение косинуса не может быть больше $1$. Следовательно, таких значений $x$ нет.

б) Найдём производные:

$$ g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right), \qquad h(x)=3-\sqrt{2}\,x $$
$$ g'(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right), \qquad h'(x)=-\sqrt{2} $$
Тогда
$$ g'(x)>h'(x) $$
$$ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\sqrt{2} $$
$$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Значения синуса больше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ при
$$ -\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z} $$ Решим двойное неравенство: $$ -\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{\pi}{4}-2x $$ $$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<-2x $$ $$ x<\frac{\pi}{4}-\pi n $$ и $$ \frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n $$ $$ -2x<\pi+2\pi n $$ $$ x>-\frac{\pi}{2}-\pi n $$
Следовательно,
$$ x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}. $$