Упр.42.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = f(x) равна скорости изменения функции у = g(x): a) f(x) = cos 2х, g(x) = sin х; б) f(x) = sin дх, g(x) = cos 12x + 4; в) f(x) = 2/3 sin 3x, g(x) = cos 2x; г) f(x) = корень(x2 — 2x); g(x) = 2корень x?

1. а) $$f(x)=\cos 2x,\quad g(x)=\sin x$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=-2\sin 2x,\quad g'(x)=\cos x.$$

   Приравниваем:

   $$-2\sin 2x=\cos x.$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$-4\sin x\cos x=\cos x,$$

   $$\cos x(-4\sin x-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac14.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$f(x)=\sin 6x,\quad g(x)=\cos 12x+4$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=6\cos 6x,\quad g'(x)=-12\sin 12x.$$

   Приравниваем:

   $$6\cos 6x=-12\sin 12x.$$

   Используем формулу $$\sin 12x=2\sin 6x\cos 6x$$:

   $$6\cos 6x+24\sin 6x\cos 6x=0,$$

   $$6\cos 6x(1+4\sin 6x)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 6x=-\frac14.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{1}{6}\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$f(x)=\frac23\sin 3x,\quad g(x)=\cos 2x$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=2\cos 3x,\quad g'(x)=-2\sin 2x.$$

   Приравниваем:

   $$2\cos 3x=-2\sin 2x,$$

   $$\cos 3x+\sin 2x=0.$$

   Преобразуем:

   $$\sin 2x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right),$$

   $$\cos 3x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0.$$

   По формуле суммы косинусов:

   $$2\cos\left(\frac{2x+\pi/2}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-\pi/2}{2}\right)=0,$$

   $$\cos\left(\frac{4x+\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{12x-\pi}{4}\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos\left(\frac{4x+\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{12x-\pi}{4}\right)=0.$$

   После упрощения получаем общий ответ:

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$f(x)=\sqrt{x^2-2x},\quad g(x)=2\sqrt{x}$$

   Область определения:

   $$x^2-2x\ge 0,\quad x\ge 0.$$

   Из первого неравенства:

   $$x(x-2)\ge 0 \Rightarrow x\le 0 \text{ или } x\ge 2.$$

   С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$x\ge 2.$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}},$$

   $$g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

   Приравниваем:

   $$\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

   Так как $$x\ge 2$$, можно преобразовать:

   $$\frac{x-1}{\sqrt{x(x-2)}}=\frac{1}{\sqrt{x}},$$

   $$\frac{x-1}{\sqrt{x-2}}=1,$$

   $$x-1=\sqrt{x-2}.$$

   Возводим в квадрат:

   $$x^2-2x+1=x-2,$$

   $$x^2-3x+3=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=9-12=-3<0.$$

   Решений нет.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\; x=(-1)^{n+1}\frac{1}{6}\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
г) решений нет.