Упр.42.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = (x — sin x)2, x0 = пи; б) y = корень((1 — sin x)/cos x), x0 = пи/4; в) y = корень((sin x + 1)cos x), x0 = пи/6; г) y = (tg x — 1)4, x0 = пи/4.

Подробный ответ

а) $$y=(x-\sin x)^2,\quad x_0=\pi.$$

Пусть $$u=x-\sin x,$$ тогда $$y=u^2.$$

По правилу производной сложной функции:

$$y’=2u\cdot u’=2(x-\sin x)(1-\cos x).$$

Подставим $$x_0=\pi$$:

$$y'(\pi)=2(\pi-\sin \pi)(1-\cos \pi)=2\pi\cdot 2=4\pi.$$

б) $$y=\sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}},\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

Пусть $$u=\frac{1-\sin x}{\cos x},$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

Тогда

$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}.$$

Найдём $$u’$$:

$$ u’=\frac{(1-\sin x)’\cos x-(1-\sin x)(\cos x)’}{\cos^2 x} =\frac{(-\cos x)\cos x-(1-\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x}. $$

Упростим:

$$ u’=\frac{-\cos^2 x+\sin x-\sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{-1+\sin x}{\cos^2 x} =-\frac{1-\sin x}{\cos^2 x}. $$

Тогда

$$ y’=-\frac{1-\sin x}{2\cos^2 x\sqrt{\frac{1-\sin x}{\cos x}}}. $$

Подставим $$x_0=\frac{\pi}{4}$$:

$$ y’\!\left(\frac{\pi}{4}\right) =-\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}}} =-\frac12\sqrt{2(\sqrt2-1)}. $$

в) $$y=\sqrt{(\sin x+1)\cos x},\quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$

Пусть $$u=(\sin x+1)\cos x,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

Тогда

$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}.$$

Найдём $$u’$$:

$$ u’=(\sin x+1)’\cos x+(\sin x+1)(\cos x)’ =\cos x\cdot \cos x+(\sin x+1)(-\sin x). $$

Следовательно,

$$u’=\cos^2 x-\sin^2 x-\sin x=\cos 2x-\sin x.$$

Подставим $$x_0=\frac{\pi}{6}$$:

$$ u’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{6} =\frac12-\frac12=0. $$

Значит,

$$y’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=0.$$