Упр.42.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = корень(4×2 — 20x + 25), x0 = 3; б) y = корень(sin2 x — 2sin x + 1), x0 = пи/3; в) y = корень(1 — 10x + 25×2), x0 = 1; г) y = корень(1 — cos x + 1/4 cos2 x), x0 = пи/4.

1. $$y=\sqrt{4x^2-20x+25}, \quad x_0=3.$$

   Пусть $$u=4x^2-20x+25,$$ тогда $$y=\sqrt{u}.$$

   $$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{8x-20}{2\sqrt{4x^2-20x+25}}.$$

   Тогда

   $$y'(3)=\frac{8\cdot 3-20}{2\sqrt{4\cdot 3^2-20\cdot 3+25}}=\frac{4}{2\sqrt{1}}=2.$$

2. $$y=\sqrt{\sin^2 x-2\sin x+1}, \quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

   Заметим, что

   $$\sin^2 x-2\sin x+1=(\sin x-1)^2,$$

   поэтому

   $$y=\sqrt{(\sin x-1)^2}=|\sin x-1|.$$

   Так как $$\sin x\le 1,$$ то $$|\sin x-1|=1-\sin x,$$ значит

   $$y’=-(\sin x)’=-\cos x.$$

   Тогда

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12.$$

3. $$y=\sqrt{1-10x+25x^2}, \quad x_0=1.$$

   Заметим, что

   $$1-10x+25x^2=(5x-1)^2,$$

   следовательно

   $$y=\sqrt{(5x-1)^2}=|5x-1|.$$

   В окрестности точки $$x_0=1$$ имеем $$5x-1>0,$$ значит $$y=5x-1,$$ и

   $$y’=5.$$

   Следовательно,

   $$y'(1)=5.$$

4. $$y=\sqrt{1-\cos x+\frac14\cos^2 x}, \quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$1-\cos x+\frac14\cos^2 x=\left(1-\frac12\cos x\right)^2.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{\left(1-\frac12\cos x\right)^2}=\left|1-\frac12\cos x\right|.$$

   При $$x=\frac{\pi}{4}$$ имеем

   $$1-\frac12\cos\frac{\pi}{4}=1-\frac{\sqrt2}{4}>0,$$

   значит в этой точке

   $$y=1-\frac12\cos x,$$

   и

   $$y’=\frac12\sin x.$$

   Тогда

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\sin\frac{\pi}{4}=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$-\frac12$$; в) $$5$$; г) $$\frac{\sqrt2}{4}$$.