Упр.42.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = sin (3x — пи/4), x0 = пи/4; б) y = tg 6x, x0 = пи/24; в) y = cos (пи/3 — 2x), x0 = пи/3; г) y = ctg x/3, x0 = пи.

Подробный ответ

Найдём производные функций и подставим заданные значения аргумента.

а) $$y=\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right), \quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

Пусть $$u=3x-\frac{\pi}{4},$$ тогда $$y=\sin u.$$

$$y’=(\sin u)’ \cdot u’=\cos u \cdot 3=3\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right).$$

$$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=3\cos\left(3\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=3\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

б) $$y=\tg 6x, \quad x_0=\frac{\pi}{24}.$$

Пусть $$u=6x,$$ тогда $$y=\tg u.$$

$$y’=(\tg u)’ \cdot u’=\frac{1}{\cos^2 u}\cdot 6=\frac{6}{\cos^2 6x}.$$

$$y’\left(\frac{\pi}{24}\right)=\frac{6}{\cos^2\left(6\cdot\frac{\pi}{24}\right)}=\frac{6}{\cos^2\frac{\pi}{4}}=\frac{6}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=12.$$

в) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right), \quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

Пусть $$u=\frac{\pi}{3}-2x,$$ тогда $$y=\cos u.$$

$$y’=(\cos u)’ \cdot u’=-\sin u \cdot (-2)=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-2x\right).$$

$$y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-2\cdot\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\sqrt3.$$

г) $$y=\ctg\frac{x}{3}, \quad x_0=\pi.$$

Пусть $$u=\frac{x}{3},$$ тогда $$y=\ctg u.$$

$$y’=(\ctg u)’ \cdot u’=-\frac{1}{\sin^2 u}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{1}{3\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)}.$$

$$y'(\pi)=-\frac{1}{3\sin^2\frac{\pi}{3}}=-\frac{1}{3\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=-\frac{4}{9}.$$