Упр.42.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = sin (2x — пи/3), x0 = пи/6; б) y = ctg (пи/3 — x), x0 = пи/6; в) y = cos (пи/3 — 4x), x0 = пи/8; г) y = tg (3x — пи/4), x0 = пи/12.

1. а) $$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$

   Пусть $$u=2x-\frac{\pi}{3},$$ тогда $$y=\sin u.$$

   $$y’=(\sin u)’\cdot\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)’=\cos u\cdot 2=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos 0=2.$$

2. б) $$y=\ctg\left(\frac{\pi}{3}-x\right), \quad x_0=\frac{\pi}{6}.$$

   Пусть $$u=\frac{\pi}{3}-x,$$ тогда $$y=\ctg u.$$

   $$y’=(\ctg u)’\cdot\left(\frac{\pi}{3}-x\right)’=-\frac{1}{\sin^2 u}\cdot(-1)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}.$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\left(\frac12\right)^2}=4.$$

3. в) $$y=\cos\left(\frac{\pi}{3}-4x\right), \quad x_0=\frac{\pi}{8}.$$

   Пусть $$u=\frac{\pi}{3}-4x,$$ тогда $$y=\cos u.$$

   $$y’=(\cos u)’\cdot\left(\frac{\pi}{3}-4x\right)’=-\sin u\cdot(-4)=4\sin\left(\frac{\pi}{3}-4x\right).$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{8}\right)=4\sin\left(\frac{\pi}{3}-4\cdot\frac{\pi}{8}\right)=4\sin\left(\frac{2\pi-3\pi}{6}\right)=4\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=4\cdot\left(-\frac12\right)=-2.$$

4. г) $$y=\tg\left(3x-\frac{\pi}{4}\right), \quad x_0=\frac{\pi}{12}.$$

   Пусть $$u=3x-\frac{\pi}{4},$$ тогда $$y=\tg u.$$

   $$y’=(\tg u)’\cdot\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)’=\frac{1}{\cos^2 u}\cdot 3=\frac{3}{\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)}.$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{3}{\cos^2\left(3\cdot\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{3}{\cos^2 0}=3.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$; в) $$-2$$; г) $$3$$.