Упр.41.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = 4х2 — |а|х, проведенные в точках его пересечения с осью ху образуют между собой угол 60°? б) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = х2 + |а|х, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 45°?

Подробный ответ

В обоих пунктах точки пересечения параболы с осью $$x$$ имеют абсциссы, найденные из уравнения функции при $$y=0$$. Касательные в этих точках имеют угловые коэффициенты, равные значениям производной в этих точках.

а) $$y=4x^2-|a|x$$, угол между касательными равен $$60^\circ$$.

Найдём точки пересечения с осью $$x$$:

$$4x^2-|a|x=0$$

$$x(4x-|a|)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=\frac{|a|}{4}.$$

Производная:

$$y’=8x-|a|.$$

Тогда угловые коэффициенты касательных:

$$k_1=y'(0)=-|a|,\qquad k_2=y’\!\left(\frac{|a|}{4}\right)=|a|.$$

Если угол между касательными равен $$60^\circ$$, то возможны два случая.

1) Острый угол между касательными равен $$60^\circ$$, тогда одна из касательных образует с положительным направлением оси $$x$$ угол $$150^\circ$$, а другая — $$30^\circ$$. Следовательно,

$$|a|=\tan 120^\circ=\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$a=\pm\sqrt{3}.$$

2) Смежный угол равен $$120^\circ$$, тогда

$$|a|=\tan 150^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Отсюда

$$a=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

б) $$y=x^2+|a|x$$, угол между касательными равен $$45^\circ$$.

Найдём точки пересечения с осью $$x$$:

$$x^2+|a|x=0$$

$$x(x+|a|)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=-|a|.$$