Упр.41.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Докажите, что функция у = х sin х удовлетворяет соотношению у» + у = 2 cos х; б) докажите, что при любых значениях а и b функция у = a sin х + b cos х удовлетворяет соотношению у» + у = 0.

а) Пусть $$y=x\sin x.$$ Тогда

$$y’=(x)’\sin x+x(\sin x)’=\sin x+x\cos x,$$

$$y»=(\sin x)’+(x\cos x)’=\cos x+\cos x-x\sin x=2\cos x-x\sin x.$$

Теперь найдём $$y»+y$$:

$$y»+y=(2\cos x-x\sin x)+x\sin x=2\cos x.$$

Следовательно, функция $$y=x\sin x$$ удовлетворяет соотношению $$y»+y=2\cos x.$$

б) Пусть $$y=a\sin x+b\cos x.$$ Тогда

$$y’=a(\sin x)’+b(\cos x)’=a\cos x-b\sin x,$$

$$y»=a(\cos x)’-b(\sin x)’=-a\sin x-b\cos x.$$

Теперь найдём $$y»+y$$:

$$y»+y=(-a\sin x-b\cos x)+(a\sin x+b\cos x)=0.$$

Значит, при любых значениях $$a$$ и $$b$$ функция $$y=a\sin x+b\cos x$$ удовлетворяет соотношению $$y»+y=0.$$

Ответ

а) $$y»+y=2\cos x$$; б) $$y»+y=0.$$