Упр.41.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каких значениях х верно равенство у» + у’ — у = 0, если у = 3 cos x? б) При каких значениях х верно равенство (y»)2 + 2у’ = у2 + 1, если у = sin х?

а) $$y=3\cos x$$

Найдём производные:

$$ y’=(3\cos x)’=-3\sin x, \qquad y»=(-3\sin x)’=-3\cos x $$

Подставим в уравнение $$y»+y’-y=0$$:

$$ -3\cos x-3\sin x-3\cos x=0 $$
$$ -6\cos x-3\sin x=0 $$
$$ 2\cos x+\sin x=0 $$
$$ \tan x=-2 $$

Следовательно,

$$ x=\arctan(-2)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z} $$

или

$$ x=-\arctan 2+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z} $$

б) $$y=\sin x$$

Найдём производные:

$$ y’=(\sin x)’=\cos x, \qquad y»=(\cos x)’=-\sin x $$

Тогда

$$ (y»)^2=\sin^2 x $$

Подставим в уравнение $$ (y»)^2+2y’=y^2+1 $$:

$$ \sin^2 x+2\cos x=\sin^2 x+1 $$
$$ 2\cos x=1 $$
$$ \cos x=\frac12 $$

Отсюда

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z} $$

Ответ

а) $$x=-\arctan 2+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.