Упр.41.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях а и b функция y = (x2 + 3)/4 , если x = < -1, ax3 + bx, если x > -1: a) непрерывна на всей числовой прямой; б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \dfrac{x^2+3}{4}, & x\le -1,\\ ax^3+bx, & x>-1. \end{cases} $$

а) Непрерывность на всей числовой прямой.

Проверим точку склейки $$x=-1$$. Для непрерывности нужно, чтобы значения левой и правой частей в этой точке совпадали:

$$ \dfrac{(-1)^2+3}{4}=1, $$

$$ a(-1)^3+b(-1)=-a-b. $$

Тогда

$$ -a-b=1, $$

откуда

$$ a+b=-1. $$

б) Дифференцируемость на всей числовой прямой.

Кроме непрерывности, в точке $$x=-1$$ должны совпадать производные слева и справа.

Для левой части:

$$ y’=\left(\dfrac{x^2+3}{4}\right)’=\dfrac{1}{4}\cdot 2x=\dfrac{x}{2}, $$

значит

$$ y’_1(-1)=-\dfrac{1}{2}. $$

Для правой части:

$$ y’=(ax^3+bx)’=3ax^2+b, $$

поэтому

$$ y’_2(-1)=3a+b. $$

Приравниваем производные:

$$ 3a+b=-\dfrac{1}{2}. $$

Совместно с условием непрерывности $$a+b=-1$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=-1,\\ 3a+b=-\dfrac{1}{2}. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$ 2a=\dfrac{1}{2}, $$

откуда

$$ a=\dfrac{1}{4}. $$

Тогда

$$ b=-1-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{5}{4}. $$

Ответ

а) $$a+b=-1$$; б) $$a=\dfrac{1}{4},\ b=-\dfrac{5}{4}$$.