Упр.41.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях а и b функция y = 2х — 3, если х = < 1, х2 + ах + b, если х > 1: a) непрерывна на всей числовой прямой; б) дифференцируема на всей числовой прямой?

Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} 2x-3, & x\le 1,\\ x^2+ax+b, & x>1. \end{cases} $$

а) Непрерывность на всей числовой прямой.

Проверим точку стыка $$x=1$$:

$$ y(1)=2\cdot 1-3=-1, $$

а справа при $$x\to 1+0$$

$$ 1^2+a\cdot 1+b=1+a+b. $$

Для непрерывности нужно, чтобы эти значения совпадали:

$$ 1+a+b=-1, $$

откуда

$$ a+b=-2. $$

б) Дифференцируемость на всей числовой прямой.

Найдём производные на каждом промежутке:

$$ y’= \begin{cases} 2, & x<1,\\ 2x+a, & x>1. \end{cases} $$

В точке $$x=1$$ производные слева и справа должны совпадать:

$$ 2=2\cdot 1+a, $$

откуда

$$ a=0. $$

Тогда из условия непрерывности

$$ a+b=-2 \Rightarrow b=-2. $$

Ответ

а) $$a+b=-2$$; б) $$a=0,\ b=-2$$.