Упр.41.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) При каких значениях х верно равенство у’ * у + у2 = 0 если у = 2 sin х? б) При каких значениях х верно равенство у2 + (у’)2 = 1, если у = корень x

1. а) $$y=2\sin x$$

   Найдём производную:

   $$y’=2\cos x$$

   Тогда

   $$y’y+y^2=0$$

   $$2\cos x\cdot 2\sin x+(2\sin x)^2=0$$

   $$4\sin x\cos x+4\sin^2 x=0$$

   $$4\sin x(\cos x+\sin x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ где $$n\in\mathbb{Z}.$$

   2) $$\cos x+\sin x=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$ где $$n\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$y=\sqrt{x}$$, поэтому $$x\ge 0.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   Тогда

   $$y^2+(y’)^2=1$$

   $$x+\frac{1}{4x}=1.$$

   Умножим на $$4x$$:

   $$4x^2+1=4x$$

   $$4x^2-4x+1=0$$

   $$\left(2x-1\right)^2=0$$

   $$x=\frac12.$$

Ответ

а) $$x=\pi n$$ или $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$x=\frac12.$$