Упр.41.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Задайте аналитически функцию у = f(x), если графиком ее производной является: a) парабола (рис. 100); б) ломанная (рис. 104).

а) Пусть

$$y’ = ax^2 + bx + c.$$

По графику производной видно, что вершина параболы находится в точке $$\left(0;\,-3\right),$$ значит

$$c=-3.$$

Парабола проходит через точки $$\left(2;\,1\right)$$ и $$\left(-2;\,1\right).$$ Тогда

$$1=4a+2b-3,$$

$$1=4a-2b-3.$$

Отсюда

$$4a+2b=4,$$

$$4a-2b=4.$$

Складываем уравнения:

$$8a=8,\quad a=1.$$

Тогда

$$4\cdot 1+2b=4,\quad b=0.$$

Следовательно,

$$y’ = x^2-3.$$

Интегрируем:

$$y=\int (x^2-3)\,dx=\frac{x^3}{3}-3x+C.$$

б) На каждом участке ломаная задаётся линейной функцией вида

$$y’ = kx+b.$$

1) При $$x<-2{,}5$$ график проходит через точки $$(-3;\,2)$$ и $$(-2{,}5;\,1).$$ Тогда

$$ \begin{cases} 2=-3k+b,\\ 1=-2{,}5k+b. \end{cases} $$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$1=-0{,}5k,\quad k=-2.$$

Тогда

$$2=6+b,\quad b=-4.$$

Значит,

$$y’=-2x-4,$$

и

$$y=\int(-2x-4)\,dx=-x^2-4x+C.$$

2) При $$-2{,}5<x<1$$ график проходит через точки $$(-2{,}5;\,1)$$ и $(1;\,2).$ Тогда

$$ \begin{cases} 1=-2{,}5k+b,\\ 2=k+b. \end{cases} $$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$1=3{,}5k,\quad k=\frac{2}{7}.$$

Тогда

$$2=\frac{2}{7}+b,\quad b=\frac{12}{7}.$$

Следовательно,

$$y’=\frac{2}{7}x+\frac{12}{7},$$

и

$$y=\int\left(\frac{2}{7}x+\frac{12}{7}\right)\,dx=\frac{x^2+12x}{7}+C.$$

3) При $$x>1$$ график проходит через точки $$\left(1;\,2\right)$$ и $$\left(4;\,0\right).$$ Тогда

$$ \begin{cases} 2=k+b,\\ 0=4k+b. \end{cases} $$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$$2=-3k,\quad k=-\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$2=-\frac{2}{3}+b,\quad b=\frac{8}{3}.$$

Следовательно,

$$y’=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3},$$

и

$$y=\int\left(-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}\right)\,dx=-\frac{x^2}{3}+\frac{8x}{3}+C.$$

Итак,

$$ y= \begin{cases} -x^2-4x+C, & x<-2{,}5,\\ \dfrac{x^2+12x}{7}+C, & -2{,}5<x<1,\\ \dfrac{8x-x^2}{3}+C, & x>1. \end{cases} $$

Ответ

а) $$y=\dfrac{x^3}{3}-3x+C.$$

б) $$y= \begin{cases} -x^2-4x+C, & x<-2{,}5,\\ \dfrac{x^2+12x}{7}+C, & -2{,}5<x<1,\\ \dfrac{8x-x^2}{3}+C, & x>1. \end{cases}$$